2) Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорд CD, если AB = 10, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 5.

Дано:

• AB и CD - хорды окружности.
• AB = 10
• Расстояние от центра до AB (h_AB) = 12
• Расстояние от центра до CD (h_CD) = 5

Найти:

• CD = ?

Решение:

Всякая хорда окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к ее середине. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной хорды, расстоянием от центра до хорды и радиусом окружности.

1. Находим радиус окружности (R) по хорде AB:
   Половина хорды AB = \( \frac{10}{2} = 5 \).
   По теореме Пифагора: \( R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + h_{AB}^2 \)
   \[ R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]
   \[ R = \sqrt{169} = 13 \]
2. Находим длину хорды CD:
   В прямоугольном треугольнике, образованном половиной хорды CD, расстоянием от центра до CD и радиусом окружности:\[ (\frac{CD}{2})^2 + h_{CD}^2 = R^2 \]
   \[ (\frac{CD}{2})^2 + 5^2 = 13^2 \]
   \[ (\frac{CD}{2})^2 + 25 = 169 \]
   \[ (\frac{CD}{2})^2 = 169 - 25 = 144 \]
   \[ \frac{CD}{2} = \sqrt{144} = 12 \]
   \[ CD = 12 \times 2 = 24 \]

Ответ: 24