7. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ = 2.

Пошаговое решение:

1. Пусть O — центр окружности. Так как центр окружности лежит на стороне AC, и окружность проходит через C, то отрезок OC является радиусом окружности.
2. Диаметр окружности равен 7,5, следовательно, радиус R = 7,5 / 2 = 3,75.
3. OC = R = 3,75.
4. Так как O лежит на AC, то AC = AO + OC.
5. Прямая AB является касательной к окружности в точке B. Радиус OB перпендикулярен касательной AB. Значит, угол ABO = 90°.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора: AO² = AB² + OB².
7. OB — это радиус окружности, значит, OB = R = 3,75.
8. AB = 2 (по условию).
9. AO² = 2² + (3,75)².
10. AO² = 4 + 14,0625.
11. AO² = 18,0625.
12. AO = √18,0625 = 4,25.
13. Теперь найдем длину AC: AC = AO + OC.
14. AC = 4,25 + 3,75.
15. AC = 8.

Ответ: 8