2. Отрезки PE и HM лежат на перпендикулярных прямых и пересекаются в точке K. Внутри угла РКН взята точка А, а внутри угла МКЕ — точка В, ∠AKH = 40°, ∠MKB = 50°. Найдите углы PKA и BKE. Лежат ли точки A, K, B на одной прямой?

1. Поскольку прямые PE и HM перпендикулярны, ∠PKH = 90°. Точка A лежит внутри этого угла, поэтому ∠PKA + ∠AKH = 90°. Следовательно, ∠PKA = 90° − 40° = 50°.

2. Угол MKE также прямой: ∠MKE = 90°. Поскольку B лежит внутри него, ∠MKB + ∠BKE = 90°. Поэтому ∠BKE = 90° − 50° = 40°.

3. Если бы A, K и B лежали на одной прямой, противоположные лучи KA и KB образовали бы развёрнутый угол. Но ∠AKB = ∠AKH + ∠HKM + ∠MKB = 40° + 90° + 50° = 180°? В заданном расположении KA внутри угла PKH, а KB внутри угла MKE: ∠AKB = 40° + 90° + 50° = 180°.

Ответ: ∠PKA = 50°, ∠BKE = 40°; точки A, K, B лежат на одной прямой.