2. Отрезок AB пересекает плоскость α в точке C. Через A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁ и B₁. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA₁ = 9 см, BB₁ = 3 см, AC = 6 см.

а) Параллельные прямые, проведённые через A и B, вместе с прямой AB лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость α по прямой. Точки A₁ и B₁ принадлежат обеим плоскостям, поэтому лежат на этой линии пересечения. Точка C также принадлежит обеим плоскостям: она лежит на AB и в α. Значит, A₁, B₁ и C лежат на одной прямой.

б) Параллельное проектирование из одной плоскости на другую сохраняет отношение отрезков на одной прямой. Поэтому AC / CB = AA₁ / BB₁ = 9 / 3 = 3. Так как C находится внутри отрезка AB, получаем CB = AC / 3 = 6 / 3 = 2 см.

AB = AC + CB = 6 + 2 = 8 см.

Ответ: 8 см.