2. Письменно в тетради выполните задачи: 1. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°. 2. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 3. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если известно, что CD = 8 см, CM = 4 см. 4. Периметр квадрата равен 22 мм. Найдите сторону квадрата.

В прямоугольной трапеции два угла прямые, то есть по 90°. Два других угла являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна 180°. Если один из них равен 20°, то второй равен 180° − 20° = 160°.

Ответ: 20°, 90°, 90°, 160°.

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому ∠K = ∠MNP = 80°, а ∠M = 180° − 80° = 100°.

Диагональ KN делит угол K пополам, поэтому ∠MKO = 80° : 2 = 40°? Уточним: в треугольнике KMO отрезок KO лежит на диагонали KN, значит ∠MKO — половина угла K, то есть 40°. Диагональ MP делит угол M пополам, поэтому ∠KMO = 100° : 2 = 50°. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, ∠KOM = 90°.

Ответ: ∠MKO = 40°, ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°.

а) Так как ABCD — параллелограмм, AB ∥ CD, AD ∥ BC и AB = CD. Точка M лежит на BC, поэтому BM ∥ AD. По условию AB = BM, значит, треугольник ABM равнобедренный и ∠BAM = ∠AMB. Углы ∠ABM и ∠BAD — односторонние при параллельных прямых BM и AD, поэтому ∠ABM + ∠BAD = 180°. В треугольнике ABM сумма углов также 180°, значит, ∠BAM + ∠AMB = 180° − ∠ABM = ∠BAD. Поскольку ∠BAM = ∠AMB, каждый из них равен половине ∠BAD. Следовательно, AM — биссектриса угла BAD.

б) AB = CD = 8 см, а по условию AB = BM, значит, BM = 8 см. Тогда BC = BM + MC = 8 + 4 = 12 см. Периметр параллелограмма равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 40 см.

У квадрата четыре равные стороны, поэтому сторона равна периметру, делённому на 4: 22 : 4 = 5,5 мм.

Ответ: 5,5 мм.