6*. Диагональ четырёхугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найдите все возможные значения углов этого четырёхугольника.

В каждом равнобедренном прямоугольном треугольнике углы равны 45°, 45° и 90°. Два угла четырёхугольника при вершинах, не лежащих на диагонали, равны 45° каждый. Каждый из двух оставшихся углов — сумма углов двух треугольников при соответствующей вершине диагонали.

Если диагональ является гипотенузой обоих треугольников, углы при её концах составляют 45° + 45° = 90° каждый. Получаем набор 45°, 45°, 90°, 90°.

Если диагональ является гипотенузой одного треугольника и катетом другого, углы при её концах составляют 45° + 45° = 90° и 45° + 90° = 135°. Получаем набор 45°, 45°, 90°, 135°.

Если диагональ является катетом в обоих треугольниках, для невырожденного четырёхугольника прямые углы треугольников должны располагаться у разных концов диагонали. Тогда оба угла при концах диагонали равны 45° + 90° = 135°. Получаем набор 45°, 45°, 135°, 135°. Если прямые углы были бы при одном конце, там получился бы угол 180°, то есть фигура была бы вырожденной.

Ответ: 45°, 45°, 90°, 90°; 45°, 45°, 90°, 135°; 45°, 45°, 135°, 135°.