5*. Докажите, что сумма трёх сторон четырёхугольника больше его четвёртой стороны.

Пусть у четырёхугольника ABCD диагональ AC, а требуется сравнить сумму сторон AB, BC и CD со стороной AD.

В треугольнике ABC по неравенству треугольника AB + BC > AC. В треугольнике ACD также по неравенству треугольника AC + CD > AD. Складывая эти неравенства, получаем AB + BC + CD > AC + AD − AC, то есть AB + BC + CD > AD.

Сумма трёх сторон четырёхугольника больше его четвёртой стороны.