2. Плоскость α проходит через AD трапеции ABCD. Точки E и F — середины AB и CD. Доказать: EF ∥ α.

Для доказательства принимаем, что AD и BC — основания трапеции, то есть AD ∥ BC. Тогда AB и CD — её боковые стороны.

В треугольнике ABD точки E и F являются серединами сторон AB и BD? Нет: F — середина CD, поэтому применить теорему о средней линии треугольника ABD к отрезку EF нельзя. Однако в условии E — середина AB, а F — середина CD; данных о взаимном расположении этих точек недостаточно, чтобы утверждать EF ∥ AD и, следовательно, EF ∥ α.

Если в условии имелось в виду, что F — середина BC, то в треугольнике ABC отрезок EF — средняя линия, поэтому EF ∥ AC; этого также недостаточно для вывода EF ∥ α без дополнительных условий. Пожалуйста, уточните, какая сторона содержит точку F и какие стороны трапеции параллельны.