3. Дано: ABCD — пространственный четырёхугольник. E, F, M, K — середины отрезков AB, BC, CD, DA соответственно. Доказать: а) EFMK — параллелограмм. Найти периметр EFMK, если AC = 6, BD = 8.

а) Рассмотрим треугольник ABC. E и F — середины AB и BC, поэтому EF — его средняя линия: EF ∥ AC и EF = AC/2.

В треугольнике ADC точки K и M — середины AD и DC. Поэтому KM — средняя линия: KM ∥ AC и KM = AC/2. Значит, EF ∥ KM и EF = KM.

В треугольнике BCD отрезок FM — средняя линия, поэтому FM ∥ BD и FM = BD/2. В треугольнике BAD отрезок KE — средняя линия, поэтому KE ∥ BD и KE = BD/2. Значит, FM ∥ KE.

У четырёхугольника EFMK обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, EFMK — параллелограмм.

Периметр: EF = AC/2 = 6/2 = 3; FM = BD/2 = 8/2 = 4. Тогда P_EFMK = 2(EF + FM) = 2(3 + 4) = 14.

Ответ: EFMK — параллелограмм; P_EFMK = 14.