2. Плоскость α проходит через середины сторон AB и CD трапеции ABCD — точки M и N. А) Докажите, что AD ∥ α. Б) Найдите BC, если AD = 10 см, MN = 8 см.

А) В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны, а AB и CD — боковые стороны. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD, поэтому MN — средняя линия трапеции и MN ∥ AD.

Плоскости α и трапеции пересекаются по прямой MN. Поскольку AD лежит в плоскости трапеции и параллельна линии пересечения MN, прямая AD не пересекает α. Следовательно, AD ∥ α.

Б) По свойству средней линии трапеции:

MN = (AD + BC) / 2.

Подставим данные: 8 = (10 + BC) / 2, откуда 16 = 10 + BC и BC = 6 см.

Ответ: BC = 6 см.