2. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия, в которой b₆ = 40 и q = √2. Найдите b₁.

Решение:

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 · q^{n-1} \). Нам известно, что \( b_6 = 40 \) и \( q = √2 \). Нужно найти \( b_1 \).

Подставим известные значения в формулу для \( b_6 \):

\[ 40 = b_1 · (√2)^{6-1} \]

\[ 40 = b_1 · (√2)^5 \]

Вычислим \( (√2)^5 \):

\[ (√2)^5 = (√2)^2 · (√2)^2 · √2 = 2 · 2 · √2 = 4√2 \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ 40 = b_1 · 4√2 \]

Чтобы найти \( b_1 \), разделим обе стороны на \( 4√2 \):

\[ b_1 = \frac{40}{4√2} = \frac{10}{√2} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( √2 \):

\[ b_1 = \frac{10 · √2}{√2 · √2} = \frac{10√2}{2} = 5√2 \]

Ответ: b₁ = 5√2.