2. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x-1)(x^2-4)}{x-2}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne2\). При сокращении получаем \(y=(x-1)(x+2)=x^2+x-2\), но точка при \(x=2\) исключена: на графике параболы есть выколотая точка \((2;4)\).

Уравнение пересечения с прямой \(y=m\): \(x^2+x-2=m\), то есть \(x^2+x-(m+2)=0\). Дискриминант равен \(D=4m+9\).

• Если \(D=0\), единственный корень получается при \(m=-\dfrac94\).
• Если \(D>0\), обычно имеются два пересечения. Но при \(m=4\) один из корней равен \(x=2\) и исключён из области определения, поэтому остаётся ровно одно пересечение.
• Если \(D<0\), пересечений нет.

Ответ: \(m=-\dfrac94\) или \(m=4\).