2. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$, $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

При $x\ne-3,3$ получаем $y=(x-4)(x+2)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9$. График — парабола с вершиной $(1;-9)$, но точки при $x=-3$ и $x=3$ исключены. Их ординаты по сокращённой формуле равны соответственно $7$ и $-5$.

При $m=-9$ горизонтальная прямая касается параболы в вершине — одна общая точка. При $m>-9$ обычно две точки; для $m=7$ исключённое пересечение при $x=-3$, а для $m=-5$ — при $x=3$, поэтому в каждом из этих случаев остаётся одна точка. При $m<-9$ пересечений нет.

Ответ: $m=-9$, $m=-5$ или $m=7$.

2. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2-7x+12)(x^2+5x+6)}{x^2-9}\) и определите, при каких значениях параметра \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: