2. Постройте график функции $$y = -x^2 + 2x + 3$$. С помощью графика найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) наименьшее значение функции; в) при каких значениях $$x$$ $$y < 0$$.

2. График функции $$y = -x^2 + 2x + 3$$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $$x^2$$ равен -1 (отрицательный).

Найдем вершину параболы:

Координата $$x$$ вершины находится по формуле: $$x_в = -\frac{b}{2a}$$.

В нашем случае $$a = -1$$, $$b = 2$$.

\[ x_в = -\frac{2}{2(-1)} = -\frac{2}{-2} = 1 \]

Теперь найдем $$y$$ координату вершины, подставив $$x_в = 1$$ в уравнение функции:

\[ y_в = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]

Вершина параболы находится в точке (1, 4).

Найдем точки пересечения с осями:

С осью $$OY$$ (при $$x=0$$):

\[ y = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3 \]

Точка пересечения с осью $$OY$$: (0, 3).

С осью $$OX$$ (при $$y=0$$):

\[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы было удобнее решать:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$.

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Точки пересечения с осью $$OX$$: (-1, 0) и (3, 0).

Построение графика:

Отметим вершину (1, 4) и точки пересечения с осями (-1, 0), (3, 0), (0, 3).

Ответы на вопросы:

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до вершины ($$x = 1$$) и убывает после нее.

Возрастание: при $$x \in (-\infty; 1]$$.

Убывание: при $$x \in [1; +\infty)$$.

б) Наименьшее значение функции:

Поскольку ветви параболы направлены вниз, у функции нет наименьшего значения, она стремится к $$-\infty$$. Наибольшее значение функции равно $$y_в = 4$$.

в) При каких значениях $$x$$ $$y < 0$$:

Значения функции отрицательны, когда график находится ниже оси $$OX$$. Это происходит при $$x < -1$$ и $$x > 3$$.

Ответ:

а) Возрастает на $$(-\infty; 1]$$, убывает на $$[1; +\infty)$$.

б) Наименьшего значения нет. Наибольшее значение равно 4.

в) $$y < 0$$ при $$x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$$.