4. Решите графически систему уравнений \(\begin{cases} y = |x| + 4 \\ y = -\frac{5}{x - 2} \end{cases}\)

4. Графическое решение системы уравнений

Для решения системы построим графики обеих функций в одной системе координат и найдем точки их пересечения.

1. График функции $$y = |x| + 4$$

Это функция вида $$y = |x|$$, смещенная на 4 единицы вверх. График состоит из двух лучей, исходящих из точки (0, 4).

• При $$x ≥ 0$$, $$y = x + 4$$.
• При $$x < 0$$, $$y = -x + 4$$.

2. График функции $$y = -\frac{5}{x - 2}$$

Это дробно-линейная функция. Она имеет:

• Вертикальную асимптоту: $$x - 2 = 0 ⇒ x = 2$$.
• Горизонтальную асимптоту: $$y = 0$$.

Построение графиков:

Визуально, глядя на график, точки пересечения, где графики обеих функций совпадают, примерно находятся в:

• $$x \approx -1.8$$, $$y \approx 5.8$$
• $$x \approx 3.8$$, $$y \approx 6.8$$

Точное аналитическое решение для проверки:

Приравниваем уравнения:

\[ |x| + 4 = -\frac{5}{x - 2} \]

Случай 1: $$x ≥ 0$$

\[ x + 4 = -\frac{5}{x - 2} \]

\[ (x+4)(x-2) = -5 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = -5 \]

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Дискриминант $$D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$.

\[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

Так как мы рассматриваем случай $$x ≥ 0$$, то $$x=1$$ является решением. При $$x=1$$, $$y = |1| + 4 = 5$$. Проверим во втором уравнении: $$y = -\frac{5}{1 - 2} = -\frac{5}{-1} = 5$$. Точка (1, 5).

Случай 2: $$x < 0$$

\[ -x + 4 = -\frac{5}{x - 2} \]

\[ (-x+4)(x-2) = -5 \]

\[ -x^2 + 2x + 4x - 8 = -5 \]

\[ -x^2 + 6x - 8 = -5 \]

\[ -x^2 + 6x - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Дискриминант $$D = (-6)^2 - 4(1)(3) = 36 - 12 = 24$$.

\[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{24}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{2} = 3 + \sqrt{6} \approx 3 + 2.45 = 5.45 \]

\[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{24}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{6}}{2} = 3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.45 = 0.55 \]

Оба этих значения $$x$$ положительны, а мы рассматривали случай $$x < 0$$. Значит, в этом случае решений нет. Однако, графически видно пересечение при отрицательном $$x$$. Ошибка в построении или в аналитических расчетах. Перепроверим аналитику.

Пересмотр аналитического решения:

Случай 1: $$x ≥ 0$$

\[ x + 4 = -\frac{5}{x - 2} \]

\[ (x+4)(x-2) = -5 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = -5 \]

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Корни: $$x=1$$ и $$x=-3$$. Учитывая $$x ≥ 0$$, получаем $$x=1$$. Точка (1, 5).

Случай 2: $$x < 0$$

\[ -x + 4 = -\frac{5}{x - 2} \]

\[ (-x+4)(x-2) = -5 \]

\[ -x^2 + 2x + 4x - 8 = -5 \]

\[ -x^2 + 6x - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 6x + 3 = 0 \]

Корни: $$x = 3 ± \sqrt{6}$$. Оба корня положительны, что противоречит условию $$x < 0$$. Значит, решений в этом случае нет. Это означает, что моя аналитическая проверка не совпадает с графическим пересечением при $$x < 0$$. Возможно, я ошибся в построении графика или в анализе асимптот/ветвей гиперболы.

Перепроверка графика:

Для $$y = -5 / (x-2)$$:

• При $$x=0$$, $$y = -5 / (-2) = 2.5$$. Точка (0, 2.5).
• При $$x=1$$, $$y = -5 / (1-2) = -5 / (-1) = 5$$. Точка (1, 5).
• При $$x=3$$, $$y = -5 / (3-2) = -5 / 1 = -5$$. Точка (3, -5).
• При $$x=4$$, $$y = -5 / (4-2) = -5 / 2 = -2.5$$. Точка (4, -2.5).

График $$y = |x| + 4$$ проходит через точки (-1, 5), (0, 4), (1, 5).

Первая точка пересечения ($$x=1$$, $$y=5$$) подтверждена.

Пересмотр второй части графика ($$y = -5 / (x-2)$$):

Когда $$x$$ стремится к 2 справа ($$x \to 2^+$$), $$x-2 \to 0^+$$, $$-5/(x-2) \to -\infty$$.

Когда $$x$$ стремится к 2 слева ($$x \to 2^-$$), $$x-2 \to 0^-$$, $$-5/(x-2) \to +\infty$$.

Ветвь гиперболы, которая находится справа от $$x=2$$, идет вниз. Ветвь, которая находится слева от $$x=2$$, идет вверх.

График $$y = |x| + 4$$ имеет минимальное значение $$y=4$$ при $$x=0$$.

Ветвь гиперболы $$y = -5 / (x-2)$$ для $$x < 2$$ уходит в $$+\infty$$ при $$x \to 2^-$$. Она должна пересекать $$y = |x| + 4$$ где-то. Для $$x < 0$$, $$y = -x + 4$$.

Давайте проверим значение $$x = -2$$.

Для $$y = |x| + 4$$: $$y = |-2| + 4 = 2 + 4 = 6$$. Точка (-2, 6).

Для $$y = -5 / (x - 2)$$: $$y = -5 / (-2 - 2) = -5 / (-4) = 1.25$$. Точка (-2, 1.25).

Значит, пересечения при $$x < 0$$ нет. Мое первоначальное графическое представление было ошибочным. График $$y = -5/(x-2)$$ для $$x < 2$$ находится выше оси X, но при $$x < 0$$ он будет ниже, чем $$y = -x + 4$$.

Пересмотр точек на графике для $$y = -5/(x-2)$$

• $$x=0 ⇒ y = 2.5$$
• $$x=1 ⇒ y = 5$$
• $$x=1.5 ⇒ y = -5/(1.5-2) = -5/(-0.5) = 10$$
• $$x=1.9 ⇒ y = -5/(1.9-2) = -5/(-0.1) = 50$$ (очень большое значение)
• $$x=-1 ⇒ y = -5/(-1-2) = -5/(-3) = 1.67$$
• $$x=-2 ⇒ y = -5/(-2-2) = -5/(-4) = 1.25$$

График $$y = |x| + 4$$ проходит через (-1, 5), (0, 4), (1, 5).

Пересечение происходит только в одной точке, где $$x=1, y=5$$.

Ответ: $$x = 1, y = 5$$.