2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −1,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции, промежутки, в которых функция y > 0 и в которых y ≤ 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Представим функцию в виде y = (x − 1)² − 4. Поэтому вершина параболы — (1; −4), ось симметрии — x = 1, ветви направлены вверх.

а) Подставим x = −1,5: y = (−1,5)² − 2 · (−1,5) − 3 = 2,25 + 3 − 3 = 2,25.

б) Приравняем функцию к 3: x² − 2x − 3 = 3, откуда x² − 2x − 6 = 0. Следовательно, x = 1 ± √7.

в) Нули функции: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0, поэтому x = −1 и x = 3. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне корней, а между корнями неположительна.

г) Парабола убывает до вершины и возрастает после неё. Значит, функция возрастает при x ∈ [1; +∞).

Ответ: а) 2,25; б) x = 1 − √7 и x = 1 + √7; в) нули −1 и 3, y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞), y ≤ 0 при x ∈ [−1; 3]; г) функция возрастает при x ∈ [1; +∞).