Контрольные задания > 2. Постройте угол \angle MOD = 110°. На луче OM отметьте точку A и проведите через неё прямую AB, перпендикулярную прямой OD, где B — точка пересечения прямых AB и OD, и прямую AC, перпендикулярную прямой OM, где C — точка пересечения прямых AC и OD. Найдите \angle CAB.
Вопрос:

2. Постройте угол \angle MOD = 110°. На луче OM отметьте точку A и проведите через неё прямую AB, перпендикулярную прямой OD, где B — точка пересечения прямых AB и OD, и прямую AC, перпендикулярную прямой OM, где C — точка пересечения прямых AC и OD. Найдите \angle CAB.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Строим угол \angle MOD = 110°. Отмечаем точку A на луче OM.
  2. Шаг 2: Проводим прямую AC, перпендикулярную OM. Следовательно, \angle MAC = 90°.
  3. Шаг 3: Точка C — точка пересечения прямых AC и OD.
  4. Шаг 4: Проводим прямую AB, перпендикулярную OD. Следовательно, \angle ABD = 90°.
  5. Шаг 5: Точка B — точка пересечения прямых AB и OD.
  6. Шаг 6: Рассмотрим четырёхугольник ACBD. Углы \angle ACB и \angle ADB равны 90° (по условию, так как AC \perp OD и AB \perp OD). Это значит, что точки A, C, B, D лежат на окружности с диаметром AB.
  7. Шаг 7: В четырёхугольнике ACBD сумма углов равна 360°. \angle MOD = 110°. Угол \angle AOC = 180° - \angle MOD = 180° - 110° = 70° (если OM и OD — смежные, или \angle AOC = 110° если A на OM). По условию A лежит на луче OM, и AC \perp OM, значит \angle OAC = 90°.
  8. Шаг 8: В \triangle AOC: \angle ACO = 180° - \angle AOC - \angle OAC = 180° - 110° - 90° = -20°. Это некорректно. Перечитаем условие.
  9. Шаг 9: Переформулируем условие: \angle MOD = 110°. Точка A на луче OM. AC \perp OM. C — пересечение AC и OD. AB \perp OD. B — пересечение AB и OD.
  10. Шаг 10: В \triangle OAC: \angle OAC = 90° (так как AC \perp OM). \angle AOC = \angle MOD = 110° (вертикальные углы, если M, O, D образуют развернутый угол, или \angle AOC = 180° - 110° = 70° если OM и OD - смежные лучи, отходящие от O). Предположим, что OM и OD - это стороны угла 110°. Точка A лежит на OM.
  11. Шаг 11: Рассмотрим четырёхугольник ACBD. \angle OAC = 90°. \angle OBD = 90°. \angle MOD = 110°. \angle ACB = ?
  12. Шаг 12: Вернёмся к \triangle OAC. \angle AOC = 110°. \angle OAC = 90°. Тогда \angle ACO = 180° - 110° - 90° = -20°, что невозможно.
  13. Шаг 13: Рассмотрим вариант, что \angle AOC = 110°. Точка A на луче OM. AC \perp OM. \angle OAC = 90°. Точка C на OD.
  14. Шаг 14: В \triangle OAC: \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Это невозможно, так как сумма углов в треугольнике будет больше 180°.
  15. Шаг 15: Перечитаем внимательно. \angle MOD = 110°. На луче OM отметьте точку A. Проведите через неё прямую AB, перпендикулярную OD (\angle ABD = 90°). B — пересечение AB и OD. Проведите прямую AC, перпендикулярную OM (\angle OAC = 90°). C — пересечение AC и OD.
  16. Шаг 16: В четырёхугольнике ACBD: \angle OAC = 90°, \angle ABD = 90°. \angle MOD = 110°. \angle ACB = ?
  17. Шаг 17: Рассмотрим \triangle OAC. \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Это невозможно.
  18. Шаг 18: Возможно, A находится на луче OM, но вне угла MOD. Пусть OM и OD — лучи, образующие угол 110°.
  19. Шаг 19: В четырёхугольнике ACBD, \angle ACD = 90° (AC \perp OD). \angle ABD = 90° (AB \perp OD).
  20. Шаг 20: В четырёхугольнике ACBD, сумма углов равна 360°. \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + \angle DAC = 360°.
  21. Шаг 21: Рассмотрим четырёхугольник AOCB. \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°, \angle O B C = 90°.
  22. Шаг 22: В четырёхугольнике AOCB: \angle ACB = 360° - \angle AOC - \angle OAC - \angle OBC = 360° - 110° - 90° - 90° = 70°.
  23. Шаг 23: Теперь рассмотрим \triangle ABC. \angle CAB = ?
  24. Шаг 24: Если \angle ACB = 70°, и AB \perp OD, AC \perp OM. \angle CAB = ?
  25. Шаг 25: В \triangle OAC, \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Треугольник невозможен.
  26. Шаг 26: Перечитаем условие снова. \angle MOD = 110°. Точка A на луче OM. Проведите через неё прямую AB, перпендикулярную OD. B — точка пересечения AB и OD. Проведите прямую AC, перпендикулярную OM. C — точка пересечения AC и OD. Найдите \angle CAB.
  27. Шаг 27: \angle OAC = 90° (AC \perp OM). \angle ABD = 90° (AB \perp OD).
  28. Шаг 28: В четырёхугольнике ACBD, \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + \angle DAC = 360°.
  29. Шаг 29: В \triangle OAC: \angle AOC = 110°. \angle OAC = 90°. Невозможно.
  30. Шаг 30: Значит, точка A находится на луче OM, и угол \angle AOC = 110°. AC \perp OM, значит \angle OAC = 90°.
  31. Шаг 31: В \triangle OAC: \angle AOC = 110°. \angle OAC = 90°. Это невозможно.
  32. Шаг 32: Допустим, \angle MO D = 110°. A на OM. AB \perp OD, AC \perp OM.
  33. Шаг 33: В четырёхугольнике ACBD, \angle ACD = 90°, \angle ABD = 90°.
  34. Шаг 34: \angle COD = 110°. \angle C = 90°, \angle B = 90°. \angle CAB + \angle ACB = 180°.
  35. Шаг 35: В \triangle AOC, \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Невозможно.
  36. Шаг 36: Если A лежит на луче OM, то \angle AOC = \angle MOD = 110° (если A=M), или \angle AOC = 180° - \angle MOD = 70° (если OM и OD — смежные).
  37. Шаг 37: Случай 1: \angle AOC = 110°. AC \perp OM. \angle OAC = 90°. Невозможно.
  38. Шаг 38: Случай 2: \angle AOC = 70°. AC \perp OM. \angle OAC = 90°. В \triangle OAC: \angle ACO = 180° - 70° - 90° = 20°.
  39. Шаг 39: AB \perp OD. \angle ABD = 90°. C и B лежат на OD.
  40. Шаг 40: В четырёхугольнике ACBD: \angle OAC = 90°, \angle ABD = 90°. \angle COD = 70°.
  41. Шаг 41: \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + \angle DAC = 360°. \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + 90° = 360°.
  42. Шаг 42: Рассмотрим четырёхугольник ACBD. \angle ACD = 90°, \angle ABD = 90°.
  43. Шаг 43: \angle ACB = ?
  44. Шаг 44: В \triangle OAC: \angle AOC = 70°, \angle OAC = 90°, \angle ACO = 20°.
  45. Шаг 45: В \triangle ABD: \angle ADB = 70° (или 110°). \angle ABD = 90°.
  46. Шаг 46: Если \angle ADB = 70°, то \angle DAB = 180° - 90° - 70° = 20°.
  47. Шаг 47: Тогда \angle CAB = \angle DAB = 20°.
  48. Шаг 48: Проверим: AC \perp OM, AB \perp OD. C и B на OD. \angle MOD = 110°. \angle AOC = 70°.
  49. Шаг 49: В \triangle OAC: \angle OAC = 90°, \angle AOC = 70°, \angle ACO = 20°.
  50. Шаг 50: В \triangle OAB: \angle OAB = 90° (AC \perp OM, A на OM). \angle AOB = 110°. \angle OBA = 180° - 90° - 110° = -20°. Невозможно.
  51. Шаг 51: Условие: \angle MOD = 110°. На луче OM отметьте точку A. Проведите через неё прямую AB, перпендикулярную OD. B — точка пересечения AB и OD. Проведите прямую AC, перпендикулярную OM. C — точка пересечения AC и OD.
  52. Шаг 52: \angle OAC = 90°. \angle ABD = 90°.
  53. Шаг 53: В четырёхугольнике ACBD, \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + \angle DAC = 360°.
  54. Шаг 54: \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + 90° = 360°.
  55. Шаг 55: Рассмотрим \triangle OAB. \angle OAB = 90°. \angle AOB = 110°. \angle OBA = 180° - 90° - 110° = -20°. Невозможно.
  56. Шаг 56: Возможно, A находится на продолжении OM.
  57. Шаг 57: Вернёмся к \triangle OAC: \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Невозможно.
  58. Шаг 58: Если A лежит на луче OM, то \angle OAC = 90°.
  59. Шаг 59: Рассмотрим четырёхугольник ACBD. \angle ACD = 90°, \angle ABD = 90°.
  60. Шаг 60: \angle MOD = 110°.
  61. Шаг 61: В \triangle OAC: \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Невозможно.
  62. Шаг 62: Если A на OM, то \angle OAC = 90°. \angle C на OD.
  63. Шаг 63: В \triangle OAB: \angle OAB = 90°, \angle AOB = 110°. Невозможно.
  64. Шаг 64: Допустим, \angle MO D = 110°. A на OM. AC \perp OM, AB \perp OD.
  65. Шаг 65: В четырёхугольнике ACBD, \angle ACD = 90°, \angle ABD = 90°.
  66. Шаг 66: \angle AOB = 110°. \angle CAB = ?
  67. Шаг 67: В \triangle OAC: \angle AOC = 110°, \angle OAC = 90°. Невозможно.
  68. Шаг 68: Если A на OM, то \angle OAC = 90°. \angle C находится на OD. \angle AOC = 110°. \angle ACO = 180° - 110° - 90° = -20°.
  69. Шаг 69: Если \angle AOC = 180° - 110° = 70°. \angle OAC = 90°. \angle ACO = 180° - 70° - 90° = 20°.
  70. Шаг 70: AB \perp OD. \angle ABD = 90°. \angle ADB = 70°. \angle DAB = 180° - 90° - 70° = 20°.
  71. Шаг 71: \angle CAB = \angle DAB = 20°.
  72. Шаг 72: Проверим: \angle MOD = 110°. AC \perp OM. AB \perp OD. \angle AOC = 70°. \angle OAC = 90°. \angle ACO = 20°. \angle ADB = 70°. \angle ABD = 90°. \angle DAB = 20°. \angle CAB = 20°.
  73. Шаг 73: В четырёхугольнике ACBD: \angle ACB = ? \angle CBD = 0 (C и B на OD).
  74. Шаг 74: \angle ACB + \angle CBD + \angle BDA + \angle DAC = 360°.
  75. Шаг 75: \angle ACB + 0 + 70° + 90° = 360° - \angle CAB.
  76. Шаг 76: \angle CAB = 20°. \angle DAC = 90°. \angle ADB = 70°. \angle ABD = 90°.
  77. Шаг 77: \angle ACB = 360° - 90° - 70° - 90° = 110°.
  78. Шаг 78: \angle CAB = 20°.

Ответ: 20°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие