2. Постройте в одной системе координат графики функций y = 4/x и y = -x + 5 и определите координаты точек их пересечения.

Решение:

1. Построение графиков:

График функции
\[ y = \frac{4}{x} \]
является гиперболой, расположенной в I и III координатных четвертях.

График функции
\[ y = -x + 5 \]
является прямой линией.

2. Находим точки пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравниваем правые части уравнений:

\[ \frac{4}{x} = -x + 5 \]
Умножаем обе части на
\[ x \]
(при
\[ x
e 0 \]
):
\[ 4 = -x^2 + 5x \]
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 25 - 16 = 9 \]
\[ \sqrt{D} = 3 \]
Находим корни:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь находим соответствующие значения
\[ y \]
для каждой найденной
\[ x \]
, используя уравнение прямой
\[ y = -x + 5 \]
:

Для
\[ x_1 = 4 \]
:
\[ y_1 = -4 + 5 = 1 \]
Точка пересечения: (4; 1).

Для
\[ x_2 = 1 \]
:
\[ y_2 = -1 + 5 = 4 \]
Точка пересечения: (1; 4).

Ответ: Графики пересекаются в точках (4; 1) и (1; 4).