3. Решите графически уравнение: a) √x = x - 2; б) x² = 4x - 3.

Решение:

a) Уравнение:
\[ \sqrt{x} = x - 2 \]

1. Построение графиков:

• График функции
  \[ y = \sqrt{x} \]
  (верхняя половина параболы
  \[ y^2 = x \]
  , начинающаяся в точке (0;0) и идущая вправо вверх).


• График функции
  \[ y = x - 2 \]
  (прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось y в точке -2).

2. Находим точки пересечения:

Графики пересекаются в одной точке. Проведем анализ:
Если
\[ x = 1 \]
, то
\[ \sqrt{1} = 1 \]
и
\[ 1 - 2 = -1 \]
(не равно).
Если
\[ x = 4 \]
, то
\[ \sqrt{4} = 2 \]
и
\[ 4 - 2 = 2 \]
(равно).
Значит, точка пересечения находится при
\[ x = 4 \]
.

3. Определяем координаты точки пересечения:

При
\[ x = 4 \]
,
\[ y = \sqrt{4} = 2 \]
.

Ответ для а): x = 4.

б) Уравнение:
\[ x^2 = 4x - 3 \]

1. Приведем к виду, удобному для графического решения:

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Чтобы решить графически, представим уравнение в виде двух функций. Например:

• Функция 1: парабола
  \[ y = x^2 \]
  


• Функция 2: прямая
  \[ y = 4x - 3 \]
  

2. Построение графиков:

• График функции
  \[ y = x^2 \]
  - парабола с вершиной в начале координат, ветви вверх.


• График функции
  \[ y = 4x - 3 \]
  - прямая линия. Чтобы ее построить, найдем две точки:
  
  
  
  • Если
    \[ x = 0 \]
    , то
    \[ y = 4 \times 0 - 3 = -3 \]
    . Точка (0; -3).
    
  
  
  • Если
    \[ x = 1 \]
    , то
    \[ y = 4 \times 1 - 3 = 1 \]
    . Точка (1; 1).
    
  
  
  
  

3. Находим точки пересечения:

Графики пересекаются в двух точках.

Мы можем найти точные значения, решив квадратное уравнение
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
. Дискриминант
\[ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 \]
\[ \sqrt{D} = 2 \]

\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Значит, графики пересекаются при
\[ x = 1 \]
и
\[ x = 3 \]
.

Ответ для б): x = 1, x = 3.