2. Представьте в виде дроби: a) \(\frac{42x^{5}}{y^{4}} \cdot \frac{y^{2}}{14x^{5}}\) б) \(\frac{63a^{3}b}{c} : (18a^{2}b)\) в) \(\frac{4a^{2}-1}{a^{2}-9} : \frac{6a+3}{a+3}\)

Сейчас превратим всё в одну красивую дробь!

1. а) Умножаем дроби \(\frac{42x^{5}}{y^{4}} \cdot \frac{y^{2}}{14x^{5}}\):
• Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
• \(\frac{42x^{5} \times y^{2}}{y^{4} \times 14x^{5}}\).
• Теперь сокращаем:
• \(42\) и \(14\) сокращаются на \(14\), остаётся \(3\) и \(1\).
• \(x^{5}\) в числителе и знаменателе сокращаются.
• \(y^{2}\) и \(y^{4}\) сокращаются, остаётся \(y^{2}\) в знаменателе.
• Получаем: \(\frac{3}{y^{2}}\).
2. б) Делим \(\frac{63a^{3}b}{c} : (18a^{2}b)\):
• Чтобы разделить на выражение, нужно умножить на обратное ему. Обратное для \(18a^{2}b\) — это \(\frac{1}{18a^{2}b}\).
• \(\frac{63a^{3}b}{c} \times \frac{1}{18a^{2}b}\)
• Перемножаем: \(\frac{63a^{3}b}{c \times 18a^{2}b}\)
• Сокращаем:
• \(63\) и \(18\) сокращаются на \(9\), остаётся \(7\) и \(2\).
• \(a^{3}\) и \(a^{2}\) сокращаются, остаётся \(a\) в числителе.
• \(b\) в числителе и знаменателе сокращаются.
• Получаем: \(\frac{7a}{2c}\)
3. в) Делим \(\frac{4a^{2}-1}{a^{2}-9} : \frac{6a+3}{a+3}\):
• Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:
• \(4a^{2}-1 = (2a-1)(2a+1)\) (разность квадратов)
• \(a^{2}-9 = (a-3)(a+3)\) (разность квадратов)
• \(6a+3 = 3(2a+1)\) (вынесение общего множителя)
• Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} : \frac{3(2a+1)}{a+3}\)
• Умножаем на обратное: \(\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \times \frac{a+3}{3(2a+1)}\)
• Сокращаем: \((a+3)\) и \((2a+1)\).
• Остаётся: \(\frac{2a-1}{a-3} \times \frac{1}{3} = \frac{2a-1}{3(a-3)}\)

Ответ: а) \(\frac{3}{y^{2}}\), б) \(\frac{7a}{2c}\), в) \(\frac{2a-1}{3(a-3)}\).