2. Признаки параллельности прямых (формулировка всех, доказательство одного).

Ответ:

Признаки параллельности прямых:

• Признак 1: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Признак 2: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Признак 3: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Доказательство Признака 1 (внутренние накрест лежащие углы):

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены секущей $$c$$. Углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ — внутренние накрест лежащие. Если $$\alpha = \beta$$, то докажем, что $$a \parallel b$$.

Рассмотрим угол, вертикальный к углу $$\alpha$$. Обозначим его $$\gamma$$. Тогда $$\gamma = \alpha$$.

Углы $$\gamma$$ и $$\beta$$ являются соответственными. Так как $$\gamma = \alpha$$ и по условию $$\alpha = \beta$$, то $$\gamma = \beta$$.

По признаку параллельности прямых (по соответственным углам), если соответственные углы равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.

Следовательно, если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.