2. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 6 см.

Решение:

Так как АВ — касательная к окружности с центром О, то радиус OB перпендикулярен касательной АВ. Следовательно, \( \angle OBA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OBA \). Нам дано:

• \( \angle OAB = 30^{\circ} \)
• \( AB = 6 \) см

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \text{tg}(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \]

\[ \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{OB}{6} \]

Известно, что \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{OB}{6} \]

\[ OB = 6 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = 2\(\sqrt{3}\) \) см.

Так как АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из одной точки А к окружности, то \( AB = AC \) и \( \angle OAB = \angle OAC = 30^{\circ} \).

Следовательно, \( AC = 6 \) см.

Рассмотрим \( \triangle ABC \).

\( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Так как \( AB = AC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник с углом при вершине \( 60^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — равносторонний.

Поэтому \( BC = AB = AC \).

\[ BC = 6 \) см.

Ответ: 6 см.