2. Пятеро ученых. Участвовавших в научной конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение:

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для нахождения числа сочетаний из n элементов по k, где n — число ученых, а k — число участников рукопожатия (2 человека).

Формула числа сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В нашем случае \( n = 5 \) (пятеро ученых) и \( k = 2 \) (два человека для рукопожатия).

1. Подставим значения в формулу: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \]
2. Вычислим факториалы: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \), \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
3. Подставим значения факториалов обратно в формулу: \[ C_5^2 = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \]

Также можно решить задачу, представив, что каждый из 5 ученых пожмет руку 4 другим. Это даст \( 5 \times 4 = 20 \) рукопожатий. Но так как каждое рукопожатие учитывается дважды (например, А пожал руку Б, и Б пожал руку А), нужно разделить результат на 2: \( 20 / 2 = 10 \).

Ответ: 10.