2. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности. Поэтому расстояние от неё до стороны — радиус вписанной окружности: \(r=19\).

Пусть диагональ, перпендикулярная биссектрисе угла ромба, равна \(76\). Половина этой диагонали равна \(38\).

В прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали и радиусом, острый угол ромба обозначим через \(\alpha\). Тогда

\[\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{19}{38}=\frac12.\]

Следовательно, \(\frac{\alpha}{2}\approx26.565^\circ\), поэтому \(\alpha\approx53.13^\circ\). Второй угол ромба supplementary:

\[180^\circ-53.13^\circ=126.87^\circ.\]

Ответ: примерно \(53.13^\circ\) и \(126.87^\circ\).