2. Разложите на множители: a) 49x² - 25y²; б) 16 + 16k + 4k²; в) 25a² + b² – 30ab.

Привет! Давай разложим эти выражения на множители, используя формулы сокращенного умножения.

2. Разложение на множители:

1. а) \[ 49x^2 - 25y^2 \]
   

   Это снова разность квадратов! Формула: a² - b² = (a - b)(a + b).

   
   

   Находим корни:

   
   
   • \[ √{49x^2} = 7x \] (потому что \[ (7x)^2 = 49x^2 \])
   • \[ √{25y^2} = 5y \] (потому что \[ (5y)^2 = 25y^2 \])

   Теперь подставляем в формулу:

   
   

   \[ 49x^2 - 25y^2 = (7x - 5y)(7x + 5y) \]

2. б) \[ 16 + 16k + 4k^2 \]
   

   Похоже на квадрат суммы, но давай проверим. Формула: a² + 2ab + b² = (a + b)².

   
   

   Меняем порядок слагаемых, чтобы было понятнее:

   
   

   \[ 4k^2 + 16k + 16 \]

   
   

   Ищем корни:

   
   
   • \[ √{4k^2} = 2k \] (потому что \[ (2k)^2 = 4k^2 \])
   • \[ √{16} = 4 \] (потому что \[ 4^2 = 16 \])

   Теперь проверяем средний член: 2ab.

   
   

   \[ 2 · (2k) · 4 = 16k \]

   
   

   Все сходится! Значит, это квадрат суммы:

   
   

   \[ 4k^2 + 16k + 16 = (2k + 4)^2 \]

3. в) \[ 25a^2 + b^2 - 30ab \]
   

   Это тоже похоже на квадрат суммы или разности. Формулы: (a + b)² = a² + 2ab + b² или (a - b)² = a² - 2ab + b².

   
   

   Переставим слагаемые, чтобы увидеть структуру:

   
   

   \[ 25a^2 - 30ab + b^2 \]

   
   

   Ищем корни:

   
   
   • \[ √{25a^2} = 5a \] (потому что \[ (5a)^2 = 25a^2 \])
   • \[ √{b^2} = b \] (потому что \[ b^2 = b^2 \])

   Проверяем средний член (он с минусом, значит, пробуем квадрат разности): -2ab.

   
   

   \[ -2 · (5a) · b = -10ab \]

   
   

   Ой, не сходится! Средний член у нас -30ab, а получилось -10ab. Это значит, что это не просто квадрат разности. Давай проверим, нет ли в задании ошибки или какого-то другого правила. Если бы было, например, 25a² - 10ab + b², то ответ был бы (5a - b)².

   
   

   Внимание! В данном выражении 25a² + b² - 30ab, средний член -30ab не соответствует удвоенному произведению корней 5a и b (которое равно -10ab). Поэтому данное выражение НЕ является полным квадратом и его нельзя разложить на множители с помощью стандартной формулы квадрата разности. Возможно, в задании опечатка.

   
   

   Если бы было, например, 25a² - 30ab + 9b², то корни были бы 5a и 3b, и тогда:
   \[ (5a)^2 - 2 · 5a · 3b + (3b)^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2 = (5a - 3b)^2 \].

   
   

   Исходя из того, что написано, разложить на множители как полный квадрат нельзя.

Ответ:

• а) (7x - 5y)(7x + 5y)
• б) (2k + 4)²
• в) Выражение 25a² + b² - 30ab не раскладывается на множители как полный квадрат по стандартным формулам, так как средний член (-30ab) не равен удвоенному произведению корней (2 * 5a * b = 10ab). Возможно, в задании ошибка.