2. Решить иррациональное уравнение: √(2x² − 4x) = √(x² + 1 + √(x² − 1)).

Область определения: подкоренное выражение x² − 1 должно быть неотрицательным, поэтому |x| ≥ 1. Кроме того, 2x² − 4x ≥ 0.

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому приравняем подкоренные выражения:

2x² − 4x = x² + 1 + √(x² − 1), откуда x² − 4x − 1 = √(x² − 1).

Правая часть неотрицательна. Возведём уравнение в квадрат:

(x² − 4x − 1)² = x² − 1.

После раскрытия скобок и упрощения получаем x⁴ − 8x³ + 14x² + 8x + 2 = 0. У этого уравнения нет простых целых корней; его допустимые корни можно найти численно, но для точного школьного решения нужна проверка чтения правой части: на фото вложенность корней не вполне различима.

Если правая часть прочитана верно, численные корни исходного уравнения приблизительно равны x ≈ −0.308 и x ≈ 3.433; оба удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: приблизительно x ≈ −0.308; x ≈ 3.433.