2. Решить уравнение $\frac{x^2}{x^2+2x+1}=\left(\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}\right):\frac{1+x^3}{x^2-x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решить уравнение $\frac{x^2}{x^2+2x+1}=\left(\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}\right):\frac{1+x^3}{x^2-x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $x\ne-1,0,1$. В частности, делитель $\frac{1+x^3}{x^2-x}$ должен быть определён и отличен от нуля.

Упростим выражение в скобках: $\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}=\frac{x^2-(x-1)}{x(x^2-1)}=\frac{x^2-x+1}{x(x-1)(x+1)}$.

Разделим на вторую дробь, заменив деление умножением на обратную: $\frac{x^2-x+1}{x(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x(x-1)}{x^3+1}$.

Так как $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, получаем $\frac{1}{(x+1)^2}$. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.

Умножаем на $(x+1)^2\ne0$: $x^2=1$, значит, $x=1$ или $x=-1$. Оба значения исключены из ОДЗ.

Ответ: решений нет.

2. Решить уравнение \(\frac{x^2}{x^2+2x+1}=\left(\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+x}\right):\frac{1+x^3}{x^2-x}\).