Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Решить уравнения: 1) \(\frac{4x-3}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{2x+3}{x^2-x}\); 2) \(\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+2x+1}=3\); 3)…Фото задания

Ответ:

  1. Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne1\). Умножим уравнение на \(x(x-1)\):

    \((4x-3)(x-1)-x=2x+3\).

    Раскрываем скобки и переносим всё в левую часть:

    \(4x^2-8x+3=2x+3\), откуда \(4x^2-10x=0\), то есть \(2x(2x-5)=0\).

    Корни: \(x=0\) или \(x=\frac52\). Значение \(x=0\) не входит в ОДЗ.

  2. Представим подкоренные выражения как квадраты:

    \(\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x+1)^2}=3\), то есть \(|x-2|+|x+1|=3\).

    Это сумма расстояний от точки \(x\) до точек 2 и −1. Она равна расстоянию между этими точками, равному 3, тогда и только тогда, когда \(x\) находится между ними.

  3. Подставим \(x=1\): получаем ноль, значит, многочлен делится на \(x-1\):

    \(x^3+5x^2+2x-8=(x-1)(x^2+6x+8)=(x-1)(x+2)(x+4)\).

    Приравнивая множители к нулю, получаем корни \(1\), \(-2\), \(-4\).

Ответ: 1) \(x=\frac52\); 2) \(x\in[-1;2]\); 3) \(x=-4,-2,1\).