2. Решить уравнения: 1) log_(1/3)(x+1) = 2; 2) (1/2)^(3x+1) = 0,5^(−2); 3) log₃(x+4) + log₃(x−4) = 2; 4) 2^(2x) − 6·2^x + 8 = 0.

1) Область допустимых значений: \(x+1>0\), то есть \(x>-1\).

\(\log_{1/3}(x+1)=2\Rightarrow x+1=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\Rightarrow x=-\frac{8}{9}.\)

Полученное значение удовлетворяет ОДЗ.

2) Так как \(0.5=\frac{1}{2}\), уравнение принимает вид \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3x+1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\). Приравниваем показатели:

\(3x+1=-2\Rightarrow 3x=-3\Rightarrow x=-1.\)

3) ОДЗ: \(x+4>0\) и \(x-4>0\), значит \(x>4\).

\(\log_3(x+4)+\log_3(x-4)=2\)

\(\log_3((x+4)(x-4))=2\Rightarrow x^2-16=3^2\Rightarrow x^2=25.\)

Получаем \(x=5\) или \(x=-5\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=5\).

4) Сделаем замену \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(2^{2x}=t^2\), и уравнение становится:

\(t^2-6t+8=0\Rightarrow(t-2)(t-4)=0\).

Следовательно, \(2^x=2\) или \(2^x=4\), откуда \(x=1\) или \(x=2\).

Ответ: 1) \(-\frac{8}{9}\); 2) \(-1\); 3) \(5\); 4) \(1, 2\).