3. Решить неравенства: 1) log₇(x−1) < 1; 2) (1/2)^(3x+1) ≥ 0,5^(−2); 3) (log₃ x)² − 3log₃ x + 2 ≤ 0; 4) 5^x − 5^(x−2) ≤ 120.

1) ОДЗ: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Основание логарифма \(7>1\), поэтому логарифмическая функция возрастает:

\(\log_7(x-1)<1\Rightarrow x-1<7^1\Rightarrow x<8.\)

С учётом ОДЗ: \(1<x<8\).

2) Представим \(0.5\) как \(\frac12\). Основание меньше 1, поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется:

\(\left(\frac12\right)^{3x+1}\ge\left(\frac12\right)^{-2}\Rightarrow 3x+1\le-2\Rightarrow x\le-1.\)

3) ОДЗ: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_3 x\):

\(t^2-3t+2\le0\Rightarrow(t-1)(t-2)\le0\Rightarrow 1\le t\le2.\)

Так как основание 3 больше 1, получаем \(3^1\le x\le3^2\), то есть \(3\le x\le9\).

4) Вынесем \(5^x\) за скобки:

\(5^x-5^{x-2}=5^x(1-5^{-2})=5^x\cdot\frac{24}{25}.\)

Тогда \(\frac{24}{25}5^x\le120\Rightarrow 5^x\le125=5^3\). Поскольку функция \(5^x\) возрастает, \(x\le3\).

Ответ: 1) \(x\in(1;8)\); 2) \(x\in(-\infty;-1]\); 3) \(x\in[3;9]\); 4) \(x\in(-\infty;3]\).