2. Решить уравнения: 2.1.√3x-1 = 1 - 3x, 2.2.2sin²x + 3sinxcosx + cos²x = 0.

Решение:

2.1. Решение уравнения:

ОДЗ: \( 3x - 1 \ge 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \ge \frac{1}{3} \) и \( 1 - 3x \ge 0 \) \(\Rightarrow\) \( x \le \frac{1}{3} \).

Единственное значение, удовлетворяющее ОДЗ, это \( x = \frac{1}{3} \).

Проверим: \( \sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0 \).

\( 1 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 - 1 = 0 \).

\( 0 = 0 \), равенство выполняется.

2.2. Решение уравнения:

Уравнение является однородным. Разделим обе части на \( cos^2x \) (при \( cosx=0 \), \( 2\sin^2x = 0 \), что невозможно, так как \( ͂ \sin^2x + \cos^2x = 1 \)).

\( 2\frac{\sin^2x}{cos^2x} + 3\frac{\sin x \cos x}{cos^2x} + \frac{cos^2x}{cos^2x} = 0 \)

\( 2\tan^2x + 3\tan x + 1 = 0 \)

Пусть \( y = \tan x \). Получаем квадратное уравнение: \( 2y^2 + 3y + 1 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

Корни: \( y_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2} \) и \( y_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -1 \).

Значит, \( \tan x = -\frac{1}{2} \) или \( \tan x = -1 \).

\( x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \) — целые числа.

Ответ: 2.1. \( x = \frac{1}{3} \). 2.2. \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \) или \( x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n \), \( k, n \text{ - целые числа} \).