2. Решите биквадратные уравнения: А) x⁴ − 17x² + 16 = 0; б) x⁴ + 3x² − 10 = 0; в) 2x⁴ − 3x² + 1 = 0; г) 16y⁴ − 8y² + 1 = 0.

Question

Вопрос:

2. Решите биквадратные уравнения: А) x⁴ − 17x² + 16 = 0; б) x⁴ + 3x² − 10 = 0; в) 2x⁴ − 3x² + 1 = 0; г) 16y⁴ − 8y² + 1 = 0.

Accepted Answer

В уравнениях А), б) и в) сделаем замену \(t=x^2\), учитывая, что \(t\ge 0\).

А) \(t^2-17t+16=(t-1)(t-16)=0\). Значит, \(x^2=1\) или \(x^2=16\), откуда \(x=\pm1,\pm4\).

б) \(t^2+3t-10=(t+5)(t-2)=0\). Получаем \(t=-5\) или \(t=2\). Значение \(t=-5\) не подходит, так как \(x^2\ge0\). Поэтому \(x^2=2\), и \(x=\pm\sqrt2\).

в) \(2t^2-3t+1=(2t-1)(t-1)=0\). Значит, \(x^2=\frac12\) или \(x^2=1\), откуда \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2},\pm1\).

г) \(16y^4-8y^2+1=(4y^2-1)^2=0\). Тогда \(4y^2-1=0\), поэтому \(y^2=\frac14\) и \(y=\pm\frac12\).

Ответ: А) \(x=\pm1,\pm4\); б) \(x=\pm\sqrt2\); в) \(x=\pm\frac{\sqrt2}{2},\pm1\); г) \(y=\pm\frac12\).