2. Решите неравенства: а) $\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{2-x}\ge 0$; б) $x^4+3x^3\le\dfrac{81x+243}{x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Решите неравенства: а) $\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{2-x}\ge 0$; б) $x^4+3x^3\le\dfrac{81x+243}{x}$.$ Фото задания

2. Решите неравенства: а) $\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{2-x}\ge 0$; б) $x^4+3x^3\le\dfrac{81x+243}{x}$.

Accepted Answer

а) Разложим числитель на множители:

$x^3-2x^2-9x+18=(x^2-9)(x-2)=(x-3)(x+3)(x-2)$.

Так как $2-x=-(x-2)$, при $x\ne2$ выражение упрощается до $-(x-3)(x+3)=9-x^2$. Решаем $9-x^2\ge0$: получаем $-3\le x\le3$. Значение $x=2$ исключаем, поскольку исходная дробь при нём не определена.

б) Область определения: $x\ne0$. Перенесём всё в левую часть и приведём к общей дроби:

$x^4+3x^3-\dfrac{81x+243}{x}=\dfrac{x^5+3x^4-81x-243}{x}$.

Числитель раскладывается так:

$x^5+3x^4-81x-243=(x+3)(x^4-81)=(x+3)^2(x-3)(x^2+9)$.

Поскольку $(x+3)^2\ge0$ и $x^2+9>0$, знак дроби определяется выражением $\dfrac{x-3}{x}$, кроме нуля числителя $x=-3$, который также подходит. Неравенство выполняется на $(0,3]$.

Ответ: а) $[-3,2)\cup(2,3]$; б) $\{-3\}\cup(0,3]$.

2. Решите неравенства: а) \(\dfrac{x^3-2x^2-9x+18}{2-x}\ge 0\); б) \(x^4+3x^3\le\dfrac{81x+243}{x}\).

Ответ: