4. Решите системы неравенств: а) \(\begin{cases}\dfrac{x^2-6x+9}{x+1}\le0,\\x^2+x-20\le0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x+6\ge\dfrac{13}{x-8},\\x-1\le\dfrac{56}{x}.\end{cases}\)

а) В первом неравенстве \(x\ne-1\), а числитель равен \((x-3)^2\). Дробь неположительна при \(x<-1\), а также равна нулю при \(x=3\): \(( -\infty,-1)\cup\{3\}\).

Второе неравенство раскладывается на множители:

\(x^2+x-20=(x+5)(x-4)\le0\quad\Longrightarrow\quad x\in[-5,4]\).

Пересечение решений: \([-5,-1)\cup\{3\}\).

б) Для первого неравенства \(x\ne8\). Перенесём дробь влево:

\(x+6-\dfrac{13}{x-8}=\dfrac{x^2-2x-61}{x-8}\ge0\).

Корни числителя: \(x=1\pm\sqrt{62}\). Учитывая также точку \(x=8\), получаем решение первого неравенства: \(( -\infty,1-\sqrt{62}]\cup(1+\sqrt{62},+\infty)\).

Для второго неравенства \(x\ne0\):

\(x-1-\dfrac{56}{x}=\dfrac{(x-8)(x+7)}{x}\le0\).

По критическим точкам \(-7,0,8\) решение равно \(( -\infty,-7]\cup(0,8]\). Пересечение решений двух неравенств системы: \(( -\infty,-7]\).

Ответ: а) \([-5,-1)\cup\{3\}\); б) \(( -\infty,-7]\).