2. Решите неравенство: 5/(3x-1) - 2/(2x-4) > 2

Решение:

1. Приведём неравенство к общему знаменателю: \[ \frac{5(2x-4) - 2(3x-1)}{(3x-1)(2x-4)} > 2 \]
2. Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть: \[ \frac{10x - 20 - 6x + 2}{(3x-1)(2x-4)} - 2 > 0 \] \[ \frac{4x - 18}{(3x-1)(2x-4)} - \frac{2(3x-1)(2x-4)}{(3x-1)(2x-4)} > 0 \]
3. Упростим числитель и знаменатель: \[ \frac{4x - 18 - 2(6x^2 - 12x - 2x + 4)}{(3x-1)(2x-4)} > 0 \] \[ \frac{4x - 18 - 2(6x^2 - 14x + 4)}{(3x-1)(2x-4)} > 0 \] \[ \frac{4x - 18 - 12x^2 + 28x - 8}{(3x-1)(2x-4)} > 0 \] \[ \frac{-12x^2 + 32x - 26}{(3x-1)(2x-4)} > 0 \]
4. Разделим числитель и знаменатель на -2 (и сменим знак неравенства): \[ \frac{6x^2 - 16x + 13}{(3x-1)(2x-4)} < 0 \]
5. Найдём корни числителя. Дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 13 = 256 - 312 = -56 \] Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (6 > 0), числитель \( 6x^2 - 16x + 13 \) всегда положителен.
6. Таким образом, неравенство сводится к: \[ \frac{+}{(3x-1)(2x-4)} < 0 \] Это означает, что знаменатель должен быть отрицательным: \( (3x-1)(2x-4) < 0 \).
7. Найдем корни знаменателя: \( 3x-1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \) и \( 2x-4 = 0 \Rightarrow x = 2 \).
8. Решим неравенство \( (3x-1)(2x-4) < 0 \) методом интервалов. Корни: \( x = \frac{1}{3} \) и \( x = 2 \).
9. Интервалы: \( (-\infty, \frac{1}{3}) \), \( (\frac{1}{3}, 2) \), \( (2, \infty) \).
10. Проверим знаки:
• При \( x = 0 \): \( (-1)(-4) = 4 > 0 \)
• При \( x = 1 \): \( (2)(-2) = -4 < 0 \)
• При \( x = 3 \): \( (8)(2) = 16 > 0 \)
11. Решение неравенства: \( \frac{1}{3} < x < 2 \).

Ответ: (1/3; 2).