7. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение:

1. Пусть \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).
2. Скорость лодки по течению: \( v + 3 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения: \( v - 3 \) км/ч.
4. Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{25}{v+3} \) часа.
5. Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{3}{v-3} \) часа.
6. Общее время в пути равно 2 часа: \[ t_1 + t_2 = 2 \] \[ \frac{25}{v+3} + \frac{3}{v-3} = 2 \]
7. Приведём к общему знаменателю \( (v+3)(v-3) \): \[ \frac{25(v-3) + 3(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 2 \]
8. Раскроем скобки: \[ \frac{25v - 75 + 3v + 9}{v^2 - 9} = 2 \] \[ \frac{28v - 66}{v^2 - 9} = 2 \]
9. Умножим обе части на \( v^2 - 9 \) (при условии \( v^2 - 9 \neq 0 \), то есть \( v \neq 3 \) и \( v \neq -3 \)): \[ 28v - 66 = 2(v^2 - 9) \] \[ 28v - 66 = 2v^2 - 18 \]
10. Перенесём все члены в одну сторону: \[ 2v^2 - 28v - 18 + 66 = 0 \] \[ 2v^2 - 28v + 48 = 0 \]
11. Разделим на 2: \[ v^2 - 14v + 24 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]
13. Найдём корни: \[ v_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ v_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
14. Так как скорость течения равна 3 км/ч, скорость лодки против течения \( v-3 \) должна быть положительной, поэтому \( v \) должно быть больше 3.
15. Из двух найденных корней \( v_1 = 12 \) и \( v_2 = 2 \), подходит только \( v = 12 \), так как \( 12 > 3 \). Корень \( v = 2 \) не подходит, так как \( 2-3 = -1 < 0 \).

Ответ: 12 км/ч.