2. Решите неравенство: a) 3(2x-4) \(\le\) -5(2-3x) б) 2x^2+5x-7 \(\le\) 0

Задание 2. Решите неравенство

а) Линейное неравенство

1. Раскроем скобки с обеих сторон:
2. \( 3 \cdot 2x - 3 \cdot 4 \le -5 \cdot 2 - 5 \cdot (-3x) \)
3. \( 6x - 12 \le -10 + 15x \)
4. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую. При переносе через знак неравенства знак меняется:
5. \( 6x - 15x \le -10 + 12 \)
6. \( -9x \le 2 \)
7. Чтобы найти \( x \), разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
8. \( x \ge \frac{2}{-9} \)
9. \( x \ge -\frac{2}{9} \)

Ответ: \( x \ge -\frac{2}{9} \).

б) Квадратное неравенство

Чтобы решить квадратное неравенство \( 2x^2+5x-7 \le 0 \), сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 2x^2+5x-7 = 0 \).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2+bx+c=0 \): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \).

В нашем случае \( a=2, b=5, c=-7 \).

1. Вычисляем дискриминант:
2. \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 \)
3. Находим корни:
4. \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
5. \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5 \)

Теперь у нас есть корни: \( -3.5 \) и \( 1 \). Они делят числовую ось на три промежутка: \( (-\infty, -3.5] \), \( [-3.5, 1] \) и \( [1, \infty) \).

Квадратичная функция \( y = 2x^2+5x-7 \) — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент \( a = 2 \) положительный).

Нас интересуют значения, где \( y \le 0 \), то есть где парабола находится ниже оси x или на ней. Это происходит между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства — промежуток от \( -3.5 \) до \( 1 \) включительно.

Ответ: \( [-3.5; 1] \) или \( [-\frac{7}{2}; 1] \).