2. Решите неравенство, используя метод интервалов: a) (x + 9)(x - 5) > 0; б) \( \frac{x-3}{x+6} < 0 \).

Решение:

2. Решение неравенств методом интервалов:

1. a) \( (x + 9)(x - 5) > 0 \)
   1. Найдём корни уравнения \( (x + 9)(x - 5) = 0 \): \( x = -9 \) и \( x = 5 \).
   2. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -9) \), \( (-9; 5) \), \( (5; +\infty) \).
   3. Проверим знак выражения в каждом интервале:
      • \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) = 15 > 0 \).
      • \( -9 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 + 9)(0 - 5) = (9)(-5) = -45 < 0 \).
      • \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6 + 9)(6 - 5) = (15)(1) = 15 > 0 \).
   4. Неравенство \( > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -9) \) и \( (5; +\infty) \).

   Ответ: \( (-\infty; -9) \cup (5; +\infty) \).

2. б) \( \frac{x-3}{x+6} < 0 \)
   1. Найдём корни числителя и знаменателя: \( x - 3 = 0 \) \( \Rightarrow x = 3 \); \( x + 6 = 0 \) \( \Rightarrow x = -6 \).
   2. Эти значения разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -6) \), \( (-6; 3) \), \( (3; +\infty) \).
   3. Проверим знак выражения в каждом интервале:
      • \( x < -6 \) (например, \( x = -7 \)): \( \frac{-7-3}{-7+6} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 \).
      • \( -6 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0-3}{0+6} = \frac{-3}{6} = -0.5 < 0 \).
      • \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4-3}{4+6} = \frac{1}{10} = 0.1 > 0 \).
   4. Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервале \( (-6; 3) \).

   Ответ: \( (-6; 3) \).