2. Решите неравенство, используя метод интервалов: a) (x+9)(x-5)>0; б) x-3 / x+6 < 0.

Краткое пояснение:

• Метод интервалов применяется для решения неравенств, где выражение представлено в виде произведения или частного множителей. Корни числителя и знаменателя разбивают числовую ось на интервалы, на каждом из которых знак выражения постоянен.

Решение:

1. Неравенство 2а: \( (x+9)(x-5)>0 \)
   Корни уравнения \( (x+9)(x-5)=0 \) равны \( x_1 = -9 \) и \( x_2 = 5 \).
   Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-∞; -9) \), \( (-9; 5) \) и \( (5; +∞) \).
   Определим знак выражения на каждом интервале:
   
   • При \( x < -9 \) (например, \( x=-10 \)): \( (-10+9)(-10-5) = (-1)(-15) = 15 > 0 \)
   • При \( -9 < x < 5 \) (например, \( x=0 \)): \( (0+9)(0-5) = (9)(-5) = -45 < 0 \)
   • При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( (6+9)(6-5) = (15)(1) = 15 > 0 \)
   Так как \( (x+9)(x-5)>0 \), решением являются интервалы \( (-∞; -9) \) и \( (5; +∞) \).
2. Неравенство 2б: \( \frac{x-3}{x+6}<0 \)
   Корни числителя и знаменателя: \( x-3=0 ⇒ x=3 \) и \( x+6=0 ⇒ x=-6 \).
   Корень знаменателя \( x=-6 \) не входит в решение, так как на ноль делить нельзя.
   Интервалы: \( (-∞; -6) \), \( (-6; 3) \) и \( (3; +∞) \).
   Определим знак выражения на каждом интервале:
   
   • При \( x < -6 \) (например, \( x=-7 \)): \( \frac{-7-3}{-7+6} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 \)
   • При \( -6 < x < 3 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{0-3}{0+6} = \frac{-3}{6} = -0.5 < 0 \)
   • При \( x > 3 \) (например, \( x=4 \)): \( \frac{4-3}{4+6} = \frac{1}{10} = 0.1 > 0 \)
   Так как \( \frac{x-3}{x+6}<0 \), решением является интервал \( (-6; 3) \).

Ответ: а) (-∞; -9) ∪ (5; +∞); б) (-6; 3)