2. Решите неравенство log²₄ (16-x²) - 3 · log₄ (16-x²) + 2 ≥ 0

Решение:

ОДЗ: \( 16 - x^2 > 0 \) \( \Rightarrow x^2 < 16 \) \( \Rightarrow -4 < x < 4 \).

Сделаем замену \( y = \log_4(16-x^2) \).

Неравенство примет вид: \( y^2 - 3y + 2 \ge 0 \).

Найдем корни квадратного трехчлена \( y^2 - 3y + 2 = 0 \):

\( y_1 = 1 \), \( y_2 = 2 \).

Значит, \( (y-1)(y-2) \ge 0 \).

Это означает, что \( y \le 1 \) или \( y \ge 2 \).

Случай 1: \( y \le 1 \)

\( \log_4(16-x^2) \le 1 \).

Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), то:

\( 16 - x^2 \le 4^1 \)

\( 16 - x^2 \le 4 \)

\( 12 \le x^2 \)

\( x^2 \ge 12 \).

Это означает, что \( x \le -\sqrt{12} \) или \( x \ge \sqrt{12} \).

\( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \).

Учитывая ОДЗ \( -4 < x < 4 \), получаем:

\( -4 < x \le -2\sqrt{3} \) или \( 2\sqrt{3} \le x < 4 \).

Случай 2: \( y \ge 2 \)

\( \log_4(16-x^2) \ge 2 \).

\( 16 - x^2 \ge 4^2 \)

\( 16 - x^2 \ge 16 \)

\( -x^2 \ge 0 \)

\( x^2 \le 0 \).

Единственное решение \( x=0 \).

Объединяем решения из обоих случаев:

\( (-4; -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}; 4) \cup \{0\} \).

Ответ: \( (-4; -2\sqrt{3}] \cup \{0\} \cup [2\sqrt{3}; 4) \).