3. Укажите число целых решений неравенства: \( \frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)(x-5)} \ge -1 \) из промежутка [2;7].

Решение:

Перенесём \(-1\) в левую часть неравенства:

\( \frac{x^2 - 6x + 9}{(x-3)(x-5)} + 1 \ge 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x^2 - 6x + 9 + (x-3)(x-5)}{(x-3)(x-5)} \ge 0 \)

Раскроем скобки в числителе:

\( x^2 - 6x + 9 + (x^2 - 5x - 3x + 15) = x^2 - 6x + 9 + x^2 - 8x + 15 = 2x^2 - 14x + 24 \).

Числитель: \( 2x^2 - 14x + 24 = 2(x^2 - 7x + 12) = 2(x-3)(x-4) \).

Теперь неравенство выглядит так:

\( \frac{2(x-3)(x-4)}{(x-3)(x-5)} \ge 0 \).

Сократим \( (x-3) \), учитывая, что \( x \ne 3 \):

\( \frac{2(x-4)}{x-5} \ge 0 \)

\( \frac{x-4}{x-5} \ge 0 \).

Методом интервалов найдём решения:

Корни числителя и знаменателя: \( x=4 \) и \( x=5 \).

Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; 4] \), \( [4; 5) \), \( (5; \infty) \).

На \( (-\infty; 4] \) (исключая \( x=5 \)): \( \frac{-}{-} = + \ge 0 \).

На \( [4; 5) \): \( \frac{+}{-} = - \ge 0 \) (не подходит).

На \( (5; \infty) \): \( \frac{+}{+} = + \ge 0 \).

Решения: \( x \le 4 \) или \( x > 5 \).

Теперь учтём ОДЗ \( x \ne 3 \) и \( x \ne 5 \) и интервал \( [2; 7] \).

Решения, удовлетворяющие \( x \le 4 \) и \( x \in [2; 7] \) и \( x \ne 3 \): \( [2; 3) \cup (3; 4] \).

Решения, удовлетворяющие \( x > 5 \) и \( x \in [2; 7] \): \( (5; 7] \).

Объединяя, получаем: \( [2; 3) \cup (3; 4] \cup (5; 7] \).

Целые решения в этом объединении:

\( 2, 4 \) (из \( [2; 3) \cup (3; 4] \)) и \( 6, 7 \) (из \( (5; 7] \)).

Всего 4 целых решения: 2, 4, 6, 7.

Ответ: 4.