Часть 2. 1. 6 cos²x - sinx - 5 = 0 а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2].

Решение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \) и решим уравнение относительно \( \sin x \).

\( 6(1 - \sin^2x) - \sin x - 5 = 0 \)

\( 6 - 6\sin^2x - \sin x - 5 = 0 \)

\( -6\sin^2x - \sin x + 1 = 0 \)

\( 6\sin^2x + \sin x - 1 = 0 \)

Сделаем замену \( y = \sin x \). Тогда \( 6y^2 + y - 1 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения: \( y_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \), \( y_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \).

Таким образом, \( \sin x = \frac{1}{3} \) или \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

а) Решите уравнение.

Для \( \sin x = \frac{1}{3} \): \( x = \pm \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Для \( \sin x = -\frac{1}{2} \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2].

Отрезок \( [\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}] \) соответствует \( [2.5\pi; 3.5\pi] \).

Рассмотрим корни \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (не входит в отрезок).

При \( k = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \) (входит в отрезок, т.к. \( \frac{23}{6} \approx 3.83 \), а \( 3.5 = \frac{21}{6} \) — видимо, ошибка в расчетах, проверим снова).

\( \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \), \( \frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} \).

Для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \): \( \frac{15\pi}{6} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{21\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{16\pi}{6} \le 2\pi k \le \frac{22\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{8}{6} \le k \le \frac{11}{6} \) \( \Rightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{11}{6} \). Целых \( k \) нет.

Рассмотрим корни \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

\( \frac{15\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{21\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{8\pi}{6} \le 2\pi k \le \frac{14\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{4}{6} \le k \le \frac{7}{6} \) \( \Rightarrow \frac{2}{3} \le k \le \frac{7}{6} \). Целое \( k=1 \) даёт \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \). \( \frac{19}{6} \approx 3.17 \), что входит в отрезок \( [2.5, 3.5] \).

Рассмотрим корни \( x = \pm \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \).

\( \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \) — это угол в первой четверти, примерно \( 0.34 \) радиан. \( \pi \approx 3.14 \).

\( 2.5\pi \approx 7.85 \), \( 3.5\pi \approx 10.99 \).

\( x_1 = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \). При \( n=1 \): \( x = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi \approx 0.34 + 6.28 = 6.62 \) (не входит).

\( x_2 = -\arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \). При \( n=2 \): \( x = -\arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 4\pi \approx -0.34 + 12.56 = 12.22 \) (не входит).

Вернёмся к \( \sin x = -\frac{1}{2} \). Корни \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

На интервале \( [\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}] = [\frac{15\pi}{6}, \frac{21\pi}{6}] \).

Для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \): \( \frac{15\pi}{6} \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{21\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{16\pi}{6} \le 2\pi k \le \frac{22\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{8}{6} \le k \le \frac{11}{6} \) \( \Rightarrow \frac{4}{3} \le k \le \frac{11}{6} \). Целых \( k \) нет.

Для \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \): \( \frac{15\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{21\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{8\pi}{6} \le 2\pi k \le \frac{14\pi}{6} \) \( \Rightarrow \frac{4}{6} \le k \le \frac{7}{6} \) \( \Rightarrow \frac{2}{3} \le k \le \frac{7}{6} \). Целое \( k=1 \) даёт \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \).

Теперь рассмотрим \( \sin x = \frac{1}{3} \). Корни \( x = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \) и \( x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \).

\( \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 \), \( \frac{7\pi}{2} \approx 10.99 \).

\( \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \approx 0.34 \).

Для \( x = \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \): При \( n=1 \): \( x = 0.34 + 6.28 = 6.62 \) (не входит).

Для \( x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \): \( x \approx 3.14 - 0.34 + 2\pi n = 2.8 + 6.28 \( n=1 \) \) = 9.08 \). Это входит в \( [7.85, 10.99] \).

Итак, корни на отрезке: \( \frac{19\pi}{6} \) и \( \pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi \).

Ответ: а) \( x = \pm \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi n \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{19\pi}{6} \), \( 3\pi - \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) \).