2. Решите неравенство \(\log_7 (x - 1) \le \log_7 2 + \log_7 3\)

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): \( x - 1 > 0 → x > 1 \).

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_7 2 + \log_7 3 = \log_7 (2 \cdot 3) = \log_7 6 \]

Теперь неравенство имеет вид:

\[ \log_7 (x - 1) \le \log_7 6 \]

Так как основание логарифма \( 7 > 1 \), функция \( y = \log_7 x \) возрастающая. Следовательно, мы можем опустить знаки логарифмов, сохранив направление знака неравенства:

\[ x - 1 \le 6 \]

\( x \le 6 + 1 \)

\( x \le 7 \)

Теперь учтём ОДЗ \( x > 1 \). Объединяя условия \( x > 1 \) и \( x \le 7 \), получаем:

\[ 1 < x \le 7 \]

Ответ: \( x \in (1; 7] \).