5. Найдите промежутки возрастания функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 36x \).

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно найти производную этой функции и определить, где она положительна.

Найдем производную функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 36x \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 36x) \]

\( y' = 6x^2 - 6x - 36 \)

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^2 - 6x - 36 = 0 \]

Разделим уравнение на 6:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 1 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).

Эти критические точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 3) \) и \( (3; \infty) \).

Теперь определим знак производной в каждом интервале:

1. Интервал \( (-\infty; -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.

2. Интервал \( (-2; 3) \): Возьмём \( x = 0 \). \( y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Производная отрицательна, функция убывает.

3. Интервал \( (3; \infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.

Функция возрастает на тех интервалах, где \( y' > 0 \).

Ответ: Функция возрастает на промежутках \( (-\infty; -2] \) и \( [3; \infty) \).