2. Решите треугольник: а) AB = 8, BC = 5, ∠A = 65°; б) найдите AB, BC и угол B треугольника ABC, если ∠C = 120°, ∠A = 30°, AC = 13.

а) По теореме синусов для стороны BC, противоположной углу A, и стороны AB, противоположной углу C, должно выполняться \[\sin C=\frac{AB\cdot\sin A}{BC}=\frac{8\sin65^\circ}{5}\approx1{,}45.\] Но синус угла не может быть больше 1, поэтому треугольник с такими данными не существует.

б) Найдём угол B по сумме углов треугольника: \[\angle B=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ.\]

Так как углы A и B равны, противоположные им стороны BC и AC равны: \[BC=AC=13.\]

По теореме синусов найдём AB: \[\frac{AB}{\sin120^\circ}=\frac{AC}{\sin30^\circ},\qquad AB=\frac{13\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=13\sqrt3\approx22{,}52.\]

Ответ: а) такого треугольника не существует; б) AB = 13√3, BC = 13, ∠B = 30°.