2. Решите уравнение: 1) x⁴ - 15x² - 16 = 0; 2) (x² + 12) / (x - 3) = 7x / (x - 3)

Задание 2. Уравнения

1) Уравнение: \( x^4 - 15x^2 - 16 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 15y - 16 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = 16 \)
   Из этого следует, что \( x = \pm\sqrt{16} \), то есть \( x = 4 \) или \( x = -4 \).
2. \( x^2 = -1 \)
   Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = 4 \), \( x = -4 \).

2) Уравнение: \( \frac{x^2 + 12}{x - 3} = \frac{7x}{x - 3} \)

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель \( x - 3 \) не может быть равен нулю, значит, \( x \neq 3 \).

Умножим обе части уравнения на \( (x - 3) \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[ x^2 + 12 = 7x \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1} = 1 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-7) + 1}{2(1)} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-(-7) - 1}{2(1)} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверим корни по ОДЗ. Мы нашли, что \( x \neq 3 \). Поэтому корень \( x = 3 \) является посторонним.

Единственный допустимый корень — \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).