4. Решите уравнение 4 / (x² - 10x + 25) - 10 / (x² - 25) = 1 / (x + 5)

Задание 4. Уравнение

Уравнение: \( \frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{10}{x^2 - 25} = \frac{1}{x + 5} \)

Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и общий знаменатель:

• \( x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \)
• \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \)
• \( x + 5 \)

Общий знаменатель — \( (x - 5)^2 (x + 5) \).

ОДЗ: \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Приведем все дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{4}{(x - 5)^2} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{1}{x + 5} \]

Умножим каждую дробь на недостающие множители:

\[ \frac{4 × (x + 5)}{(x - 5)^2(x + 5)} - \frac{10 × (x - 5)}{(x - 5)^2(x + 5)} = \frac{1 × (x - 5)^2}{(x - 5)^2(x + 5)} \]

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можем приравнять числители:

\[ 4(x + 5) - 10(x - 5) = (x - 5)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 4x + 20 - 10x + 50 = x^2 - 10x + 25 \]

Приведем подобные члены:

\[ -6x + 70 = x^2 - 10x + 25 \]

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 0 = x^2 - 10x + 6x + 25 - 70 \]

\[ x^2 - 4x - 45 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-45) = 16 + 180 = 196 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{196} = 14 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-4) + 14}{2(1)} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-(-4) - 14}{2(1)} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Проверим корни по ОДЗ. Мы нашли, что \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \). Поэтому корень \( x = -5 \) является посторонним.

Единственный допустимый корень — \( x = 9 \).

Ответ: \( x = 9 \).