3. Сократите дробь (5a² + 3a - 2) / (a² - 1)

Задание 3. Сокращение дроби

Дробь: \( \frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} \)

Для сокращения дроби нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим знаменатель:

Знаменатель \( a^2 - 1 \) — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). В нашем случае \( b = 1 \).

\[ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \]

2. Разложим числитель:

Числитель \( 5a^2 + 3a - 2 \) — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, приравняв к нулю: \( 5a^2 + 3a - 2 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \]

Найдем корни:

\[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2(5)} = \frac{4}{10} = 0.4 \]

\[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2(5)} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Теперь можно представить числитель в виде \( k(a - a_1)(a - a_2) \), где \( k \) — старший коэффициент (в нашем случае 5).

\[ 5a^2 + 3a - 2 = 5(a - 0.4)(a - (-1)) = 5(a - 0.4)(a + 1) \]

Можно также представить \( 5(a - 0.4) \) как \( (5a - 2) \).

\[ 5a^2 + 3a - 2 = (5a - 2)(a + 1) \]

3. Сократим дробь:

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

\[ \frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} \]

Видим, что множитель \( (a + 1) \) есть и в числителе, и в знаменателе. Его можно сократить (при условии, что \( a \neq -1 \)).

\[ \frac{(5a - 2)\(cancel{(a + 1)}\)}{(a - 1)\(cancel{(a + 1)}\)} = \frac{5a - 2}{a - 1} \]

Ответ: \( \frac{5a - 2}{a - 1} \).