Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) \((x^2-7)^2-4(x^2-7)-45=0\); б) \((x^2+2x)^2-2(x^2+2x)-3=0\); в)…Фото задания

Ответ:

  1. а) Обозначим \(t=x^2-7\). Тогда \(t^2-4t-45=0\), или \((t-9)(t+5)=0\). Значит, \(t=9\) или \(t=-5\). В первом случае \(x^2-7=9\), откуда \(x=\pm4\). Во втором \(x^2-7=-5\), откуда \(x=\pm\sqrt2\).
  2. б) Обозначим \(t=x^2+2x\). Получаем \(t^2-2t-3=0\), то есть \((t-3)(t+1)=0\). Если \(t=3\), то \(x^2+2x-3=0\), откуда \(x=1,-3\). Если \(t=-1\), то \(x^2+2x+1=0\), откуда \(x=-1\).
  3. в) Положим \(t=x^2-x\). Тогда \((t+1)(t-7)=65\), поэтому \(t^2-6t-58=0\). Отсюда \(t=3\pm\sqrt{67}\). Условие \(x^2-x=t\) имеет действительные решения только при \(t\geq-\frac14\). Значение \(3-\sqrt{67}<-\frac14\) не подходит. При \(t=3+\sqrt{67}\): \(x^2-x-(3+\sqrt{67})=0\), поэтому \(x=\frac{1\pm\sqrt{13+4\sqrt{67}}}{2}\).

Ответ: а) \(x=\pm4,\pm\sqrt2\); б) \(x=1,-3,-1\); в) \(x=\frac{1\pm\sqrt{13+4\sqrt{67}}}{2}\).