2. Решите уравнения: 1) 1 + x/2 = 2x − (3x − 4)/3; 2) 3(0,75x + 5/6) − 2x = 1/4x + 2,5; 3) 1/4(1/2x − 1/4)(0,75x + 3) = 0; 4) 7x(2,5 − x)(1 2/3x + 3) = 0; 5) (7x + 1)(2 − x) = 8; 6) (x + 1)(x − 1)(x − 2) − (x² + 7x)(x − 4) − 2 = 2x; 7) (3x − 1)³ − 27(x + 1)(x² − x + 1) + 3(3x − 4)² + 13x = 0; 8) (x² − 4)/(x − 2) = 4; 9) (x² − 5x + 4)/(x − 1) = x + 1; 10) 8/(x² − 6x + 8) + (1 − 3x)/(2 − x) = 4/(x − 4).

1) \(1+\frac{x}{2}=2x-\frac{3x-4}{3}\).

Упростим правую часть: \(2x-\frac{3x-4}{3}=x+\frac43\).

Тогда \(1+\frac{x}{2}=x+\frac43\), откуда \(x=-\frac23\).

Ответ: \(x=-\frac23\).

2) \(3\left(0.75x+\frac56\right)-2x=\frac14x+2.5\).

Раскроем скобки: \(2.25x+2.5-2x=0.25x+2.5\).

Получаем тождество \(0.25x+2.5=0.25x+2.5\).

Ответ: любое действительное число \(x\).

3) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

1. \(\frac{x}{2}-\frac14=0\), откуда \(x=\frac12\);
2. \(0.75x+3=0\), откуда \(x=-4\).

Ответ: \(x=-4;\ \frac12\).

4) \(7x\left(2.5-x\right)\left(\frac53x+3\right)=0\).

Отсюда:

• \(x=0\);
• \(2.5-x=0\), поэтому \(x=2.5\);
• \(\frac53x+3=0\), поэтому \(x=-\frac95\).

Ответ: \(x=-\frac95;\ 0;\ 2.5\).

5) \((7x+1)(2-x)=8\).

После раскрытия скобок: \(-7x^2+13x+2=8\), то есть \(7x^2-13x+6=0\).

Разложим на множители: \((7x-6)(x-1)=0\).

Ответ: \(x=1;\ \frac67\).

6) Раскроем скобки:

\((x+1)(x-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2\),

\((x^2+7x)(x-4)=x^3+3x^2-28x\).

Тогда \(-5x^2+27x=0\), или \(x(27-5x)=0\).

Ответ: \(x=0;\ \frac{27}{5}\).

7) Используем тождества:

\((3x-1)^3=27x^3-27x^2+9x-1\),

\((x+1)(x^2-x+1)=x^3+1\).

После упрощения получаем \(-50x+20=0\).

Ответ: \(x=\frac25\).

8) Область допустимых значений: \(x\ne2\).

При \(x\ne2\): \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\). Тогда \(x+2=4\), откуда \(x=2\), но это значение запрещено.

Ответ: решений нет.

9) Область допустимых значений: \(x\ne1\).

При \(x\ne1\): \(\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4\). Получаем \(x-4=x+1\), то есть \(-4=1\), что невозможно.

Ответ: решений нет.

10) Область допустимых значений: \(x\ne2\), \(x\ne4\).

Так как \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\), получаем:

\(-\frac{8}{x-4}+\frac{3x-1}{x-2}=\frac{4}{x-4}\).

Следовательно, \(\frac{3x-1}{x-2}=\frac{12}{x-4}\).

После умножения на знаменатели: \((3x-1)(x-4)=12(x-2)\), то есть \(3x^2-25x+28=0\).

Корни: \(x=7\) и \(x=\frac43\). Оба значения допустимы.

Ответ: \(x=7;\ \frac43\).